含临界幂非线性梯度项的非线性热方程爆破解

我们考虑如下含非线性梯度项的指数反应扩散方程：$$\partial_t U = \Delta U + \alpha|\nabla U|^2 + e^U,\quad (x, t)\in\mathbb{R}^N\times[0,T), \quad \alpha > -1.$$ 我们为该方程构造了一个在有限时间 $T > 0$ 内爆破并满足某些预设渐近行为的解。我们还证明了所构造的解及其梯度在原点处同时在有限时间 $T$ 爆破，并精确给出了其最终爆破轮廓的描述。二次梯度项在某种意义下是临界的，导致与 $\alpha = 0$ 情形相比最终爆破轮廓发生改变。该构造的证明受 1997 年 Merle 和 Zaag 方法的启发，依赖于将问题约化为有限维问题，并运用指标理论得出结论。证明中出现的主要困难之一是：在爆破区域之外，围绕轮廓的线性化算子的谱永远无法变为负。需要真正全新的思想来实现对解外部部分的控制。借助有限维问题的参数关于爆破时间与爆破点的几何解释，我们获得了所构造解相对于初始数据扰动的稳定性。