具有无理次幂的复半线性热方程的爆破解

本文考虑如下半线性复热方程 \begin{eqnarray*} \partial_t u = \Delta u + u^p, u \in \mathbb{C} \end{eqnarray*} 在 $\mathbb{R}^n$ 中，具有任意幂次 $p,$ $p > 1$。特别地，$p$ 可以非整数甚至无理。我们为该方程构造了一个复解 $u = u_1 + i u_2$，它在有限时间 $T$ 且仅在一个爆点 $a$ 处爆破。此外，我们还通过以下终态剖面描述解的渐近性：\begin{eqnarray*} u(x,T) &\sim & \left[ \frac{(p-1)^2 |x-a|^2}{ 8 p |\ln|x-a||}\right]^{-\frac{1}{p-1}},\\ u_2(x,T) &\sim & \frac{2 p}{(p-1)^2} \left[ \frac{ (p-1)^2|x-a|^2}{ 8p |\ln|x-a||}\right]^{-\frac{1}{p-1}}\frac{1}{ |\ln|x-a||} > 0 , \text{ as } x \to a. \end{eqnarray*} 除此之外，由于我们有 $u_1 (0,t) \to + \infty$ 和 $u_2(0,t) \to - \infty$ 当 $t \to T$，虚部中的爆破展示了实情形下标准热方程所未知的新现象：在奇点附近符号非常量，且虚部存在一收缩至原点的消失曲面。在我们的工作中，我们成功地将结果推广到任意幂次 $p$，其中当 $p$ 非整数时非线性项 $u^p$ 不连续。特别地，我们构造的解具有正的实部。我们将该方程作为实部与虚部 $u_1$ 和 $u_2$ 的方程组来研究。我们的工作依赖于两个主要论据：将问题约化为有限维问题，以及基于指标理论的拓扑论据以得出结论。