复值半线性热方程爆破解虚部的剖面

在本文中，我们考虑整个空间 $\mathbb{R}^n$ 中的如下复值半线性热方程 \begin{eqnarray*} \partial_t u = \Delta u + u^p, u \in \mathbb{C}, \end{eqnarray*} 其中 $p \in \mathbb{N}, p \geq 2$。我们旨在为该方程构造一个复解 $u = u_1 + i u_2$，其在有限时间 $T$ 且仅在一个爆点 $a$ 处爆破，并具有以下最终剖面的估计 \begin{eqnarray*} u(x,T) &\sim & \left[ \frac{(p-1)^2 |x-a|^2}{ 8 p |\ln|x-a||}\right]^{-\frac{1}{p-1}}, u_2(x,T) &\sim & \frac{2 p}{(p-1)^2} \left[ \frac{ (p-1)^2|x-a|^2}{ 8p |\ln|x-a||}\right]^{-\frac{1}{p-1}}\frac{1}{ |\ln|x-a||} , \text{ as } x \to a. \end{eqnarray*} 注意虚部非零且在 $a$ 点也爆破。我们的方法依赖于两个主要论证：将问题约化为有限维问题，以及基于指标理论的一个拓扑论证以得到结论。据我们所知，这是首次在多维中导出虚部爆破行为的工作。