带 Neumann 边界条件的热方程有限时间 blow-up 解

我们考虑带有 Neumann 边界条件的非线性热方程\n$$\begin{cases} u_{t}=\Delta u & \text{在}\ \mathbb{R}_{+}^{4} \times(0, T) ,\\ -\frac{d u}{d x_{4}}(\tilde{x}, 0, t) \ =u^2(\tilde{x}, 0, t)& \text{在}\ \mathbb{R}^{3} \times(0, T). \end{cases}$$ 我们建立了有限时间 blow-up 解的存在性。具体而言，对于任意足够小的 $T>0$ 和任意 $k$ 个互不相同的点 $q_{1},\dots,q_{k}\in\mathbb{R}^{3}$，存在初始数据 $u_{0}$ 使得对应的解 $u(x,t)$ 在 $t\nearrow T$ 时在 $q_{1},\dots,q_{k}$ 处 blow-up。进一步地，当 $t\nearrow T$ 时，解具有渐近轮廓\n$$u(x,t)=\sum_{j=1}^{k}U_{\mu_{j}(t),\xi_{j}(t)}(x)+Z_0^*(x)+o(1)\quad \text{在}~ t\nearrow T,$$\n其中\nU_{\mu_{j}(t),\xi_{j}(t)}(x):=\mu_{j}^{-1}(t) U\left(\frac{x-\xi_{j}(t)}{\mu_{j}(t)}\right),~ x\in\mathbb{R}_{+}^{4,\n且 $Z_{0}^{*}\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}_{+}^{4})$ 满足\n$$Z_{0}^{*}(q_{j},0)<0\quad \text{对所有}\ j=1,\dots,k.$$ 这里，$U(y)$ 表示将正径向对称解 $\widetilde{U}$ 到分数 Yamabe 问题 $(-\Delta)^{\frac{1}{2}} \widetilde{U} = \widetilde{U}^{2}$ 在 $\mathbb{R}^{3}$ 中的调和延拓。对于某个常数 $\beta_{j}>0$，缩放参数 $\mu_{j}(t)$ 和平移参数 $\xi_{j}(t)$ 满足\n$$\mu_{j}(t)=\beta_{j}\frac{|\log 2T|(T-t)}{|\log(T-t)|^{2}}(1 + o(1)) \to 0,~\xi_{j}(t)\to (q_{j},0)\quad \text{当} ~t\nearrow T.$$