一类非缩放不变半线性波方程的爆破率

我们考虑半线性波方程 $$\partial_t^2 u -\Delta u =f(u), \quad (x,t)\in \mathbb{R}^N\times [0,T),\qquad (1)$$ 其中 $f(u)=|u|^{p-1}u\log^a (2+u^2)$，$p>1$ 且 $a\in \mathbb{R}$。我们给出(1)任意爆破解的上界。随后，在一维空间情形，利用该估计与对数性质，我们证明(1)任意奇异解的精确爆破率由对应于$(1)$的 ODE 解给出，即 $u'' =|u|^{p-1}u\log^a (2+u^2)$。与纯幂次情形($g(u)=|u|^{p-1}u$)不同，此处的困难源于方程(1)不是缩放不变的。