具有尺度不变阻尼与组合非线性项的波动方程爆破解

在本文中，我们研究尺度不变情形下并存在两个非线性项时的阻尼波动方程的爆破解。更确切地说，我们考虑如下方程：$$u_{tt}-\Delta u+\frac{\mu}{1+t}u_t=|u_t|^p+|u|^q, \quad \mbox{in}\ \R^N\times[0,\infty),$$ 具有小初值。\ 对于 $\mu < \frac{N(q-1)}{2}$ 且 $\mu \in (0, \mu_*)$，其中 $\mu_*>0$ 依赖于非线性幂次与空间维数（$\mu_*$ 满足 $(q-1)\left((N+2\mu_*-1)p-2\right) = 4$），我们证明该情形下的波动方程表现得如同无耗散（$\mu =0$）的情形。我们的结果补全了先前关于耗散由 $\frac{\mu}{(1+t)^\beta}u_t; \ \beta >1$（\cite{LT3}）给出的研究，与本文所得相反，其中阻尼的影响在动力学中不显著。有趣的是，在我们的情形中，阻尼项 $\frac{\mu}{1+t}u_t$ 的影响是重要的。