一类高阶半线性抛物方程 I 型爆破解的构造

我们考虑整个空间 $\mathbb{R}^N$ 中的高阶半线性抛物方程 $$\partial_t u = -(-\Delta)^{m} u + u|u|^{p-1},$$ 其中 $p > 1$ 且 $m \geq 1$ 为奇整数。我们给出了该方程的非自相似 I 型爆破解，并获得了其渐近行为的精确描述。构造方法依赖于在适当的尺度变量框架下对非自伴线性化算子的谱分析。鉴于 [Galaktionov, rspa2011] 所获得的线性化算子的已知谱与扇形性质，我们重访了 [Merle-Zaag, duke1997] 针对经典情形 $m = 1$ 发展的技术，该技术包含两步：将问题约化为有限维问题，随后基于指标理论的经典拓扑论证求解有限维问题。我们的分析为 [Galaktionov, rspa2011] 中的形式结果提供了严格的证明。