关于 H\'{e}non 抛物方程亚索伯尔临界非线性的 blow-up 速率

我们讨论了 H\'{e}non 抛物方程 $\partial_t u = \Delta u + |x|^\sigma u^p$ 在 $\mathbb{R}^N$ 中有限球内，满足 Dirichlet 边界条件的情形，其中 $N\ge1$, $p>1$, $\sigma>0$。我们假设指数 $p$ 在索伯尔意义上处于临界以上。由于空间势项 $|x|^\sigma$ 在原点处为零，解在原点处 blow-up 的可能性似乎较小。我们构造了一个在原点处 blow-up 的解，并对解的 blow-up 速率进行了分析。特别地，如果 $p$ 小于 Joseph--Lundgren 指数，则所有 blow-up 均为 Type I。我们还展示了某些特定 blow-up 解对应的 Type I 速率下界。作为副产品，我们给出了每个 $p>1+\sigma/N$ 下阈值解分类的基本结果。