局部非线性诺伊曼条件下爆破时间下界的改进

本文研究有界域 $\Omega\subset\mathbb{R}^{n}(n\geq 2)$ 中具有正初始数据和局部非线性诺伊曼边界条件的热方程 $u_t=\Delta u$：对于某个 $q>1$，在部分边界 $\Gamma_1\subseteq \partial\Omega$ 上法向导数 $\partial u/\partial n=u^{q}$，而在其余部分上 $\partial u/\partial n=0$。我们从几个方面研究 $u$ 的爆破时间 $T^{*}$ 的下界。首先，证明当 $q\rightarrow 1^{+}$ 时 $T^{*}$ 至少具有 $(q-1)^{-1}$ 阶。由于现有的上界为 $(q-1)^{-1}$ 阶，该结果是尖锐的。其次，若 $\Omega$ 是凸的且 $|\Gamma_{1}|$ 表示 $\Gamma_{1}$ 的表面积，则证明当 $n\geq 3$ 时 $T^{*}$ 至少具有 $|\Gamma_{1}|^{-\frac{1}{n-1}}$ 阶，当 $n=2$ 且 $|\Gamma_{1}|\rightarrow 0$ 时至少具有 $|\Gamma_{1}|^{-1}\big/\ln\big(|\Gamma_{1}|^{-1}\big)$ 阶，而先前的结果是对于任意 $\alpha<\frac{1}{n-1}$ 的 $|\Gamma_{1}|^{-\alpha}$。最后，我们将凸域的结果推广到仅在 $\Gamma_{1}$ 附近具有局部凸性的域。