通过诺伊曼热核防止爆破

考虑有界 $C^2$ 域 $\Omega\subset\mathbb{R}^{n}(n\geq 2)$ 上的热方程 $u_t-\Delta u=0$，具有任意正初值。若在具有正表面积的部分边界 $\Gamma_1\subseteq\partial\Omega$ 上施加超线性辐射律 $\frac{\partial u}{\partial n}=u^{q}$（$q>1$），则已知解 $u$ 会在有限时间内爆破。然而，若施加超线性辐射律的部分边界在收缩，并在时刻 $t$ 记为 $\Gamma_{1,t}$，则只要 $\Gamma_{1,t}$ 的表面积 $|\Gamma_{1,t}|$ 衰减足够快，解就可能全局存在。本文提出如下问题：为保证有界全局解，$|\Gamma_{1,t}|$ 应衰减多快？该问题在诸如将温度控制在某安全范围之内的实际情形中具有重要意义。借助诺伊曼热核，我们得出结论：多项式衰减 $|\Gamma_{1,t}|\sim |\Gamma_1|(1+Ct)^{-\beta}$（任意 $\beta>n-1$）足以保证有界全局解。