通过诺伊曼热核估计解的生命周期

本文研究有界域 $\Omega\subset\mathbb{R}^{n}(n\geq 2)$ 中具正初值 $u_{0}$ 及部分边界上非线性辐射条件的热方程 $u_t=\Delta u$ 的解的生命周期 $T^{*}$ 的下界：对某些 $q>1$，在 $\Gamma_1\subseteq \partial\Omega$ 上有法向导数 $\partial u/\partial n=u^{q}$，而在边界其余部分有 $\partial u/\partial n=0$。先前在 $\Omega$ 的凸性假设下，探讨了 $T^{*}$ 关于 $u_{0}$ 的最大值 $M_{0}$ 和 $\Gamma_{1}$ 的表面积 $|\Gamma_{1}|$ 的渐近行为。本文在无需 $\Omega$ 凸性要求下，将证明当 $M_{0}\rightarrow 0^{+}$ 时，$T^{*}$ 至少为 $M_{0}^{-(q-1)}$ 阶，这是最优的。同时，我们还将证明当 $|\Gamma_{1}|\rightarrow 0^{+}$ 时，对 $n\geq 3$ 有 $T^{*}$ 至少为 $|\Gamma_{1}|^{-\frac{1}{n-1}}$ 阶，对 $n=2$ 有 $|\Gamma_{1}|^{-1}\big/\ln\big(|\Gamma_{1}|^{-1}\big)$ 阶。当 $n=2$ 时关于 $|\Gamma_{1}|$ 的阶几乎是最优的。证明通过分析 $u$ 用诺伊曼热核表示的公式完成。