线性热方程在 ${\mathbb R}^d$ 中的最优存在类与非线性类动力学

我们分析了 ${\mathbb R}^d$ 中线性热方程在 $M_\varepsilon({\mathbb R}^d)$ 类初值下的解的行为，其中 $M_\varepsilon({\mathbb R}^d)$ 为满足 $\int_{{\mathbb R}^d}{\rm e}^{-\varepsilon|x|^2}\,{\rm d}|u_0|<\infty$ 的 Radon 测度类。我们表明这些类在非负有解的整体与局部存在性意义下是最优的：特别地，$M_0({\mathbb R}^d)=\cap_{\varepsilon>0}M_\varepsilon({\mathbb R}^d)$ 恰好由那些可用热核表示公式给出热方程对所有时间的解的初值构成。在考虑了此类可在无穷远处快速增长的初值解的存在性、唯一性与正则性之后，我们进一步表明它们产生了通常更多与非线性模型相关联的性质。我们证明了解的有限时间爆破，表明爆破点集为一个凸集的补集，且对任意闭凸集，存在一个初值使其解在该“爆破时刻”恰在该集上保持有界。我们还表明，从非负初值出发在 $t\to\infty$ 时可能出现剧烈振荡（事实上我们证明此行为是通有的），并且可以规定 $u(0,t)$ 的行为为 $[0,\infty)$ 上任意实解析函数 $\gamma(t)$。