具有对数相互作用与非局部反应项的Keller-Segel模型

我们研究二维空间中具有非局部反应项$u\left(M_0-\int_{\R^2} u dx\right)$的Keller-Segel模型解的全局存在与爆破。通过引入基于种群总质量的变换来处理质量不守恒问题,我们揭示了解的定性行为由增长参数$M_0$与初始质量$m_0$的临界值$8\pi$决定。对一般解,若$m_0$与$M_0$均小于$8\pi$,利用能量不等式解全局存在;而当$M_0>8\pi$(包含$m_0<8\pi$的情形)且任意初值,以及$M_0<8\pi<m_0$且初值第二矩较小时,存在有限时间爆破解。我们还展示了临界情形$M_0=8 \pi$下的无限时间爆破。此外,在径向情形下,我们证明若初值$u_0(r)<\frac{m_0}{M_0} \frac{8 \lambda}{(r^2+\lambda)^2}$对某个$\lambda>0$成立,则所有径向对称解在$t \to \infty$时于$L_{loc}^1(\R^2)$中消失。若初值$u_0(r)>\frac{m_0}{M_0} \frac{8 \lambda}{(r^2+\lambda)^2}$对某个$\lambda>0$成立,则可能存在在$t \to \infty$时于原点发生质量集中的径向对称解。