三维 logistic 阻尼 Keller-Segel 方程的有限时间 blowup

Keller-Segel 方程，即经典趋化模型及其许多变体已经历数十年的广泛研究。在本文中，我们关注带有二次 logistic 阻尼项 $-\mu \rho^2$（模拟密度相关死亡率）的三维 Keller-Segel 方程，证明其具有任意 $\mu \in \big[0,\frac{1}{3}\big)$ 的非负密度和有限质量的有限时间 blowup 解。该 $\mu$ 范围为尖锐的；当 $\mu \ge \frac{1}{3}$ 时，logistic 阻尼效应抑制了 blowup，如 [Kang-Stevens, 2016] 和 [Tello-Winkler, 2007] 所示。一个关键要素是构造一个与原模型相比具有亚临界尺度的聚合方程的自相似 blowup 解作为近似解。基于此构造，我们采用稳健的加权 $L^2$ 方法来证明此近似解的稳定性，其中引入调制 ODE 以强制执行位于奇异加权 $L^2$ 空间中的扰动的局部分散条件。作为副产品，我们展示了经典三维 Keller-Segel 方程的一种新型 I 类 blowup 机制。