探索 Keller-Segel-Navier-Stokes 方程的数值爆破现象

Keller-Segel-Navier-Stokes 系统描述了液体环境中的趋化现象。该系统需求解生物体与趋化剂密度以及流体速度与压力。已知若初始细胞密度总质量低于 $2\pi$，则存在全局定义的广义解，但超出该阈值及其最优性时是否存在爆破解则较少被理解。受此问题驱动，本文研究了一种数值爆破情形。通过基于激波捕捉技术的稳定化有限元方法计算的近似解满足先验界以及细胞与趋化剂密度的下界和 $L^1(\Omega)$ 界。特别地，后一性质对于探测数值爆破构型至关重要，因为不满足这两项要求可能触发数值振荡，导致非真实的有限时间塌缩为持续的 Dirac 型测度。我们的发现表明，细胞密度质量所遇到的存在阈值 $2\pi$ 可能并非最优，因此推测临界阈值 $4\pi$ 可能继承自无流体的 Keller-Segel 方程。此外观察到，若加强流体流动，则可忽略奇异点的形成。