具有旋转通量的二维 Keller-Segel-Navier-Stokes 系统中由非线性扩散实现的爆破抑制

本文研究如下具有非线性扩散与旋转通量的 Keller-Segel-Navier-Stokes 系统 $$\begin{align}\begin{cases} &n_t+u\cdot\nabla n=\Delta n^m-\nabla\cdot(nS(x, n, c)\nabla c),\quad &x\in \Omega, t>0, \ &c_t+u\cdot\nabla c=\Delta c-c+n,\quad &x\in \Omega, t>0, \ &u_t+\kappa (u\cdot\nabla)u+\nabla P=\Delta u+n\nabla \phi,\quad &x\in \Omega, t>0, \ &\nabla\cdot u=0,\quad &x\in \Omega, t>0, \end{cases}\end{align}$$ 其中 $\kappa\in \mathbb{R},\phi\in W^{2,\infty}(\Omega)$ 且 $S$ 为取值于 $\mathbb{R}^{2\times2}$ 的给定函数，满足 $$|S(x,n,c)| \leq C_S$$ 对某个 $C _S > 0$。此类系统描述趋化-流体相互作用，在趋化吸引剂的演化本质上由细胞产生所主导的情形下。若 $m>1$ 且 $\Omega\subset \mathbb{R}^2$ 为具有光滑边界的{\bf 有界}域，则对所有合理正则的初始数据，$(KSNF)$ 的相应初边值问题拥有整体有界（弱）解，这显著改进了若干作者的先前结果。此外，获得了关于全局存在性参数 $m$ 的{\bf 最优条件}。我们推导主要结果的方法基于涉及泛函的熵型估计 %我们的主要工具是考虑能量泛函 $$\int_{\Omega}(n_{\varepsilon} +\varepsilon)^{m}+\int_{\Omega}|\nabla c_\varepsilon|^{2},$$ 其中 $n_\varepsilon$ 和 $c_\varepsilon$ 为下述 (2.1) 解的分量。