二维 Keller-Segel-Stokes 系统中的次线性信号产生

我们研究趋化流体系统\n\begin{align*} \left\{\begin{array}{r@{\,}l@{\quad}l@{\,}c} n_{t}&=\Delta n-\nabla\!\cdot(n\nabla c)-u\cdot\!\nabla n,\ &x\in\Omega,& t>0,\\ c_{t}&=\Delta c-c+f(n)-u\cdot\!\nabla c,\ &x\in\Omega,& t>0,\\ u_{t}&=\Delta u+\nabla P+n\cdot\!\nabla\phi,\ &x\in\Omega,& t>0,\\ \nabla\cdot u&=0,\ &x\in\Omega,& t>0, \end{array}\right. \end{align*}\n其中 $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ 是具有光滑边界的有界凸区域，$\phi\in W^{1,\infty}\left(\Omega\right)$ 且 $f\in C^1([0,\infty))$ 满足对所有 $s\in[0,\infty)$ 有 $0\leq f(s)\leq K_0 s^\alpha$，其中 $K_0>0$ 且 $\alpha\in(0,1]$。该系统模拟了缓慢流动液体中主动通信细胞的趋化运动。我们将证明，在二维情形下，对于任意 $\alpha\in(0,1)$，该 Keller-Segel-Stokes 系统的经典解整体存在且对所有时间保持有界。