流体相互作用是否影响具有饱和敏感性的三维 Keller-Segel 系统的正则性？

在有界区域 $\Omega\subset R^3$ 中考虑一类推广原型 $$\left\{ \begin{array}{rcl} n_t + u\cdot\nabla n &=& \Delta n - \nabla \cdot \Big(n(n+1)^{-\alpha}\nabla c\Big), c_t + u\cdot\nabla c &=& \Delta c-c+n, u_t +\nabla P &=& \Delta u + n \nabla \phi + f(x,t), \qquad \nabla\cdot u =0, \end{array} \right. \qquad \qquad (\star)$$ 的 Keller-Segel-Stokes 系统，其中 $\phi$ 和 $f$ 是给定的充分光滑函数，且 $f$ 在 $\Omega\times (0,\infty)$ 中有界。结果表明，在条件 $$\alpha>\frac{1}{3}$$ 下，对所有充分正则的初始数据，相应的 Neumann-Neumann-Dirichlet 初边值问题存在全局有界经典解。这推广了先前仅在更强假设 $\alpha>\frac{1}{2}$ 下断言类似结论的发现。鉴于已知当 $\alpha<\frac{1}{3}$ 时存在爆破解的结果，这表明就爆破的发生而言，衰减率 $\frac{1}{3}$ 的临界性——如前针对 ($\star$) 的无流体情形所发现的——基本上不受此处考虑的这类流体相互作用的影响。