涉及信号依赖运动性的 Keller-Segel 消耗系统的精细正则性分析

我们考虑在光滑有界域 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$、$n\ge 1$ 中涉及信号依赖运动性的 Keller-Segel 型迁移-消耗系统，$$\left\{ \begin{array}{l} u_t = \Delta \big(u\phi(v)\big), \[1mm] v_t = \Delta v-uv, \end{array} \right. \qquad \qquad$$ 在假设 $\phi\in C^1([0,\infty))$ 于 $[0,\infty)$ 上为正，且非负初值取自 $(C^0(\overline{\Omega}))^\star \times L^\infty(\Omega)$ 时，已有文献给出了某些正则性可能很差的非常弱解的全局存在性结果，以及关于 $(W^{1,2}(\Omega))^\star \times L^\infty(\Omega)$ 中拓扑收敛到半平凡平衡态的大时间稳定化结果。本研究揭示，当 $0<\phi\in C^3([0,\infty))$ 且初值属于 $(W^{1,\infty}(\Omega))^2$ 时，解实际上具有显著更强的正则性特征：首先表明，在 $n\le 2$ 情形下，相应的无通量初边值问题甚至容许全局经典解，且这些解均光滑稳定，即随着 $t\to\infty$ 有 $$\begin{align*} u(\cdot,t) \to \frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega u_0 \qquad \text{ 且 } \qquad v(\cdot,t)\to 0 \qquad \qquad (\star) \end{align*}$$ 甚至关于 $L^\infty(\Omega)$ 中两分量的范数均成立。其次，在 $n\ge 3$ 情形下，发现某些真正的弱解全局存在，特别地满足 $\nabla u\in L^\frac{4}{3}_{loc}(\overline{\Omega}\times [0,\infty);\mathbb{R}^n)$。在特定的三维情形中，任何此类解最终变得光滑并满足 ($\star$)。