涉及信号依赖迁移率的 Keller-Segel 消耗系统中的弛豫现象

在光滑有界域 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$（$n\ge 1$）中，研究了涉及信号依赖迁移率的迁移-消耗趋化系统 $$\left\{ \begin{array}{l} u_t = \Delta \big(u\phi(v)\big), \[1mm] v_t = \Delta v-uv, \end{array} \right. \qquad \qquad (\star)$$ 的两个弛豫特征：我们证明，若 $\phi\in C^0([0,\infty))$ 在 $[0,\infty)$ 上为正，则对于任意属于空间 $(C^0(\overline{\Omega}))^\star\times L^\infty(\Omega)$ 的初始数据 $(u_0,v_0)$，相应的无通量型初边值问题存在全局极弱解。在此初始弛豫性质之外，可见在附加假设 $\phi\in C^1([0,\infty))$ 且 $n\le 3$ 下，这些解中的每一个在长时间极限下都稳定于一个半平凡的空间齐次稳态。由于从而可应用于任意大小的奇异及部分甚至是测度型初始数据，这首先推广了先前关于 ($\star$) 中全局可解性的结果——那些结果仅限于不仅相当正则而且适当小的初始数据。其次，这揭示了 ($\star$) 中的大时间行为与涉及满足 $\phi(0)=0$ 的函数 $\phi$ 的相关退化对应系统中的大时间行为之间的显著差异，关于后者已知某些解可能渐近逼近非齐次状态。