二维趋化-流体系统的全局存在性与聚集现象

为描述细胞自聚集现象，1970 年代提出了一些强耦合偏微分方程，称为 Keller-Segel（KS）和 Patlak-Keller-Segel（PKS）系统。由于 KS 与 PKS 系统结构相对简单却蕴含丰富动力学行为，众多学者对其研究并获许多重要结果。然而，细胞通常在液体中定向运动，因此考虑环境流体流动对趋化机制的影响似乎更为现实。受此启发，He 等人（SIAM J. Math. Anal., Vol. 53, No. 3, 2021）提出了耦合的 Patlak-Keller-Segel-Navier-Stokes 系统，其刻画了细胞引起的摩擦对环境流体流动的作用。在其开创性工作中，当初始质量严格小于某一阈值（即亚临界情形）时，建立了该系统在二维下解的全局存在性。最后两位作者与 Zhou（Indiana Univ. Math. J., Vol. 72, No. 1, 2023）将结果推广至临界情形。据我们所知，该系统仅在全空间或周期域中被研究过。本文考虑二维有界域中的趋化-流体系统，其中细胞密度与化学浓度的边界条件为 Neumann 条件，流体速度为带零摩擦的 Navier 滑移边界条件。我们证明在亚临界质量下系统解在时间上全局存在。对于临界质量情形，我们通过内外粘合方法严格构造了边界斑点平衡态。特别地，我们发展了关于具 Navier 边界条件的二维定常 Stokes 系统的全局 $W^{2,p}$ 理论，并通过分析 Stokes 特征值问题进一步建立了其非定常对应项的半群估计。