Keller-Segel方程的保界有限元逼近

本文旨在开发Keller--Segel方程的数值逼近方法，使其在离散层面模仿连续问题的下界与能量律。我们求解这两个未知量的方程：生物（或细胞）密度，为正变量；以及趋化因子密度，为非负变量。我们提出两种算法，结合了稳定化有限元方法与半隐式时间积分。稳定化由非线性人工扩散组成，采用图拉普拉斯算子与定位局部极值的激波探测器。结果，两种算法均为非线性。两种算法均能生成满足下界的细胞和趋化因子数值密度。然而，第一种算法要求空间与时间离散参数之间的合适约束，而第二种则不需要。我们设计后者以在锐角网格上获得离散能量律。我们报告了一些数值实验，以验证关于爆破与非爆破现象的理论结果。在爆破情形下，我们识别出一种将 $L^\infty(\Omega)$-范数与 $L^1(\Omega)$-范数关联的锁定（locking）现象，当奇异性支撑于宏单元上时限制了其增长。