二维 Keller-Segel 系统奇异解的精细描述与稳定性

我们构造了二维抛物-椭圆 Keller-Segel 趋化模型在有限时间 $T$ 内爆破的解。该解被分解为一个集中于尺度 $\lambda$ 的稳态与一个扰动之和。我们依赖于作者所执行的奇点抛物邻域内线性化动力学的详细谱分析，给出了扰动的精细展开。我们的主要结果是在全非径向情形下构造了一个稳定动力学，其中稳态以普适律 $\lambda \sim 2e^{-\frac{2+\gamma}{2}}\sqrt{T-t}e^{-\sqrt{\frac{|\ln (T-t)|}{2}}}$ 坍缩，其中 $\gamma$ 为欧拉常数。这改进了 Raphael 与 Schweyer 2014 年的早期结果，并为临界抛物问题的所谓 II 型奇点提供了一种新的稳健方法。我们所发展的谱分析的一个副产品是存在不稳定的爆破动力学，其速度为 $\lambda_\ell \sim C_0(T-t)^{\frac{\ell}{2}} |\ln(T-t)|^{-\frac{\ell}{2(\ell - 1)}}$，其中 $\ell \geq 2$ 为整数。