多种群衰减 Keller-Segel 系统的自相似解

已知二维平面中抛物-椭圆 Keller-Segel 方程的解在初始数据具有亚临界质量和有限二阶矩时随时间趋于无穷而衰减，而在临界质量时此类解在 $t\rightarrow\infty$ 时集中。在亚临界情形，该衰减可由一个稳态自相似解解释，而临界情形的集中尚不知存在此类自相似解。本文受多种群相互作用的 Keller-Segel 系统启发，其中每个分量存在随时间以 $O(1/\sqrt{t})$ 速率衰减的附加漂移。我们证明自相似解在亚临界情形总存在，而临界情形此类自相似解的存在性取决于各分量衰减漂移之间的间隙。为此，我们研究对应 Liouville 系统解存在/不存在的条件，这转而关联到对应自由能泛函极小元的存在/不存在。