具有非线性扩散与信号依赖敏感性的抛物-椭圆Keller-Segel系统的有限时间爆破

本文研究具有非线性扩散与信号依赖敏感性的抛物-椭圆Keller-Segel系统 \begin{align}\tag{KS}\label{system} \begin{cases} u_t=\Delta(u+1)^m-\nabla\cdot(u\chi(v)\nabla v),\quad &x\in\Omega, t>0,\\ 0=\Delta v-v+u, &x\in\Omega, t>0 \end{cases} \end{align} 在齐次Neumann边界条件与初始条件下的问题，其中$\Omega=B_R(0)\subset\mathbb{R}^N$（$N\geq3,\ R>0$）为球，$m\geq 1$，$\chi$为满足对所有$s>0$有$\chi(s)\geq\chi_0(a+s)^{-k}$（$k>0$，$\chi_0>0$，$a\geq 0$）及若干条件的函数。对于$m=1$且$\chi(s)=\chi_0s^{-k}$的情形，Nagai-Senba在初始数据$u(x, 0)$矩的小性条件及$k\in(0,1)$的某条件下建立了解的有限时间爆破。此外，对于$\chi(s)\equiv(\mbox{const.})$的情形，Sugiyama在条件$m\in[1,2-\frac{2}{N})$下给出了解的有限时间爆破。基于上述两项先前工作，似乎$m$与$k$的小性条件导致了有限时间爆破。本文旨在给出仅依赖于$m$、$k$与$N$的关系，使得存在对应于有限时间爆破解的初始数据。