具有对数敏感性的消费型双曲Keller-Segel系统的有限时间爆破

本文研究在 $\mathbb{R}^d\; (d \ge1)$ 中针对非零初数据的具有对数敏感性的消费型双曲Keller-Segel系统 \begin{equation*} \partial_{t} \rho = - \chi\nabla \cdot \left (\rho \nabla \log c\right),\quad \partial_{t} c = - \mu c\rho\quad (\chi,\,\mu>0) \end{equation*}。该系统与肿瘤血管生成密切相关，而肿瘤血管生成是趋化性的一个重要例子。我们首先证明了对应于非零光滑初数据的光滑解的局部存在性。接下来，通过Riemann不变量，我们给出了当 $d=1$ 时该初数据发生有限时间奇性形成的若干充分条件。然后我们证明对于任意 $d\ge1$，某些非零 $C^\infty$ 数据可在有限时间内变为奇异。此外，我们导出了奇性发生时解的行为的详细信息。特别地，该信息表明某些初数据的奇性形成并非因为 $c$ 触及零（这使得 $\log c$ 发散），而是由于 $(\rho,c)$ 的 $C^1\times C^2$ 范数爆破。作为推论，我们还构造了在任意常数平衡态附近、对任意 $d\ge1$ 均在有限时间内爆破的初数据。我们的结果推广了文献 \cite{IJ21} 中的有限时间爆破结果，其中初数据需满足某些消失条件。此外，我们以某种方式解释我们的结果：即使初数据是围绕常数平衡态的小扰动，也必然需要对 $\rho$ 的某种阻尼或耗散以确保光滑解的全局存在。