半线性热方程在非孤立爆破点附近的行为刚性

我们考虑维数 $N=2$ 下具有 Sobolev 次临界幂非线性的半线性热方程,以及有限时间 $T$ 内发生爆破的解 $u(x,t)$。给定一个非孤立爆破点 $a$,我们假设该解在 $(a,T)$ 附近的 Taylor 展开满足由某个偶数整数 $m(a)\ge 4$ 标记的退化情形。若有一序列 $a_n \to a$ ($n\to \infty$),我们证明在经过坐标变换并提取子列后,要么有 $a_{n,1}-a_1 = o((a_{n,2}-a_2)^2)$,要么对某个 $L>0$ 有 $|a_{n,1}-a_1||a_{n,2}-a_2|^{-\beta} |\log|a_{n,2}-a_2||^{-\alpha} \to L> 0$(在仍记为同名的提取子列下),其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 取有限个有理数值且 $\beta \in(0,2]$,而 $L$ 是依赖于解的 Taylor 展开系数的一个多项式方程的解。若 $m(a)=4$,则 $\alpha=0$ 且 $\beta=3/2$ 或 $\beta =2$。