四维能量临界半线性热方程的一个慢速爆破解

我们考虑能量临界四维半线性热方程 $$\partial_{t}v-\Delta v-v^{3}=0, \quad(t,x)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}^4.$$ Filippas 等人(R. Soc. Lond. Proc. 2000)的形式计算推测存在一列具有不同爆破速率的 II 型爆破解 $$\|v(t)\|_{L^\infty(\mathbb{R}^4)}\approx \frac{|\log(T-t)|^{\frac{2L}{2L-1}}}{(T-t)^L} ,\quad L=1,2,\cdots.$$ Schweyer (J. Funct. Anal. 2012) 严格构造了 $L=1$ 情形的 II 型爆破解。本文中，我们证明 $L=2$ 时 II 型爆破解的存在性。此处方法可推广至处理所有 $L\geq 2$ 的情形。