五维能量临界热方程中的 II 型爆破

我们考虑维数 $n=5$ 时能量临界热方程的 Cauchy 问题 $$u_t = \Delta u + |u|^{\frac 4{n-2}}u {{\quad\hbox{in } }} \ {\mathbb R}^n \times (0, T), \quad u(\cdot,0) =u_0 {{\quad\hbox{in } }} {\mathbb R}^n$$。更确切地说,我们发现对于给定的点 $q_1, q_2,\ldots, q_k$ 以及任意充分小的 $T>0$,存在一个初始条件 $u_0$,使得该问题的解 $u(x,t)$ 恰好在这 $k$ 个点处发生 II 型爆破,即其绝对大小以 $\sim (T-t)^{-\alpha}$ 的速率增长,其中 $\alpha > \frac 34$。每个点附近的爆破剖面为鼓泡型,呈急剧缩放的 Aubin-Talenti 气泡形式。