分数阶热方程的 Carleman 估计及其在终态可观测性中的应用

在本文中，我们给出了非局部热方程的全局 Carleman 估计。更确切地说，令 $\Omega\subset\RR^d$ 为有界区域，$\CO\subset\Omega$ 为开子域，$s\in(0,1)$。我们证明存在常数 $C_1,C_2,r_0, T_0>0$ 和权函数 $\alpha:\Omega\to(0,\infty)$，使得方程组 \begin{eqnarray}\label{oben1} \left\{ \begin{array}{rcl} \timed u(x,t)+(-\De)^s u (x,t) &=&f(x,t) \quad\mbox{for}\quad (x,t)\in \Om \times (0,\infty), \\ u(x,t) &=& 0 \quad\mbox{for}\quad(x,t)\in \partial \Om \times (0,\infty), \end{array}\right. \end{eqnarray} 的任意解 $u$ 对所有 $r\ge r_0$ 和 $T>0$ 满足 \begin{eqnarray}\label{Carle} \int_0^T\Big[ \int_\Om e^{-2r\frac {\alpha(x)}{t(T-t)}} |f(x,t)|^2\,dx+C_1\int_\CO e^{-2r\frac {\alpha(x)}{t(T-t)}} \frac {r^2}{t^4(T-t)^4}|u(x,t)|^2dx\,\Big] dt \\ \nonumber &\ge & C_2 \Bigg[\int_0^T \int_\Om e^{-2r\frac {\alpha(x)}{t(T-t)}}\Big\{ \big|(-\Delta)^s u(x,t)\big|^2 + \frac 12 \Big|\timed u(x,t)\Big|^2+ \frac r{t^4(T-t)^4}\,|u(t,x)|^2\Big\} dx\, dt. \end{eqnarray} 为了证明该结果，我们使用了 Caffarelli-Silvestre 延拓方法。为说明结果的适用性，我们证明了第二个主要结果，即非局部热方程的终态可观测性。