次线性 Neumann 问题最低能量 nodal 解的存在性、唯一延拓性与对称性

我们考虑次线性问题 \begin {equation*} \left\{\begin{array}{r c l c} -\Delta u & = &|u|^{q-2}u & \textrm{in }\Omega, \\ u_n & = & 0 & \textrm{on }\partial\Omega,\end{array}\right. \end {equation*} 其中 $\Omega \subset \real^N$ 是有界区域，且 $1 \leq q < 2$。对于 $q=1$，$|u|^{q-2}u$ 将被识别为 $\sgn(u)$。我们建立了最低能量 nodal 解的变分原理，并研究了它们的定性性质。特别地，我们证明了它们满足唯一延拓性质（其零集是 Lebesgue 零测集）。此外，如果 $\Omega$ 是径向的，则最低能量 nodal 解是叶状 Schwarz 对称的，并且在 $\Omega$ 为球体时它们是非径向的。由于形式上相关的能量泛函不可微，$q=1$ 的情形需要特殊处理，许多论证必须进行调整。