拟线性非齐次问题解的存在性与多解性：Orlicz-Sobolev 空间框架

我们研究边值问题 $-{\rm div}(\log(1+ |\nabla u|^q)|\nabla u|^{p-2}\nabla u)=f(u)$ 于 $\Omega$ 中，$u=0$ 于 $\partial\Omega$ 上，其中 $\Omega$ 是 $\RR^N$ 中具有光滑边界的有界域。我们区分 $f(u)=-\lambda|u|^{p-2}u+|u|^{r-2}u$ 与 $f(u)=\lambda|u|^{p-2}u-|u|^{r-2}u$ 两种情形，其中 $p, q>1$，$p+q<\min\{N,r\}$，且 $r<(Np-N+p)/(N-p)$。第一种情形我们证明了对任意 $\lambda>0$ 存在无穷多个弱解。第二种情形我们证明了当 $\lambda$ 充分大时存在非平凡弱解。我们的方法依赖于 Orlicz-Sobolev 空间中的恰当变分法。