不含 $\Delta_2$-条件的 Orlicz-Sobolev 空间中一类拟线性问题的解的存在性

本文研究如下一类问题的解的存在性 $$\left\{ \begin{array}{ll} -\Delta_{\Phi}{u}=f(u), \quad \mbox{in} \quad \Omega u=0, \quad \mbox{on} \quad \partial \Omega, \end{array} \right.$$ 其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$，$N \geq 2$，是光滑有界域，$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 是满足某些条件的连续函数，且 $\Phi:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 是一个 N 函数，不要求满足著名的 $\Delta_2$-条件，此时 Orlicz-Sobolev 空间 $W^{1,\Phi}_0(\Omega)$ 可能是非自反的。作为主要模型，我们有函数 $\Phi(t)=(e^{t^{2}}-1)/2$。在此，我们研究一些可运用全局极小化、局部极小化与山路定理的情形，然而此类问题的某些估计并非标准估计。