含梯度项非线性的非线性椭圆方程组正解的存在性

本文分析了如下非线性椭圆方程组解的存在性：\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{rcll} -\Delta u & = & v^q+\a g & \text{in }\Omega , \\ -\Delta v& = &|\nabla u|^{p}+\l f &\text{in }\Omega , \\ u=v&=& 0 & \text{on }\partial \Omega ,\\ u,v& \geq & 0 & \text{in }\Omega, \end{array}% \right. \end{equation*} 其中 $\Omega$ 是 $\ren$ 中的有界区域，$p\ge 1$，$q>0$ 且 $pq>1$。$f,g$ 是满足附加假设的非负可测函数，$\a, \l\ge 0$。作为推论，我们证明了在 $\tilde{f}$ 和 $\tilde{\l}$ 的适当条件下，对于所有 $p>1$，四阶问题 \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{rcll} \Delta^2 u & = &|\nabla u|^{p}+\tilde{\l} \tilde{f} &\text{in }\Omega , \\ u=\D u&=& 0 & \text{on }\partial \Omega ,\\ \end{array}% \right. \end{equation*} 存在解。