半刚性金兹堡-朗道涡旋的变分约化

设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^2$ 中的光滑有界区域。对于充分小的 $\epsilon>0$，我们在 $\Omega$ 中构造 Ginzburg-Landau 方程 $-\Delta u=\frac{1}{\epsilon^2}(1-|u|^2)u$ 的非常数解，使得在 $\partial \Omega$ 上 $u$ 满足 $|u|=1$ 且 $u\wedge \partial_\nu u=0$。这些边界条件称为半刚性（semi-stiff），介于 Dirichlet 与齐次 Neumann 边界条件之间。为了构造此类解，我们采用了与 del Pino-Kowalczyk-Musso 用于求解具有 Dirichlet 与齐次 Neumann 边界条件的 Ginzburg-Landau 方程解的方法非常相似的变分约化方法。我们得到了与上述文章作者针对 Neumann 问题所获得的完全相同的结果。这是因为 Neumann 问题与半刚性问题的重正化能量相同。特别地，若 $\Omega$ 是单连通的，则边界上度数为一的解总是存在；若 $\Omega$ 非单连通，则对任意 $k\geq 1$，存在具有 $k$ 个度数为一的涡旋的解。