裂纹域中 Neumann 问题的解及其在断裂力学中的应用

课程的第一部分致力于研究 $\Omega\setminus K$ 中 Laplace 方程的解，其中 $\Omega$ 是二维光滑区域，$K$ 是 $\Omega$ 的紧一维子集。解要求在 $K$ 上满足齐次 Neumann 边界条件，在 $\partial\Omega$ 的（部分）上满足非齐次 Dirichlet 条件。主要结果是在 $K$ 的连通分支数保持有界的条件下，解关于 Hausdorff 度量的连续依赖性。经典例子表明若无此假设该结果不再成立。利用这一稳定性结果，课程第二部分发展了由 Francfort 和 Marigo 近期引入的脆性断裂缓慢生长的变分准静态模型的严格数学表述。从离散时间表述出发，得到了更令人满意的连续时间表述，并完全证实了收敛性论证的合理性。