通过束算子研究具有多重裂纹截面区域中的 p-Laplace 方程

考虑有界区域 $\O \subset \re^2$ 中的 p-Laplace 方程 $$\n \cdot (|\n u|^n \n u)=0 \whereA n>0,$$ 其在光滑边界 $\p \O$ 上满足非齐次 Dirichlet 条件。此外，存在有限条曲线集合 \Gamma = \Gamma_1\cup...\cup\Gamma_m \subset \O, \quad \{on which we assume homogeneous Dirichlet boundary conditions} \quad u=0, 用于模拟聚焦于原点 $0 \in \O$ 的多重裂纹形成。这使得上述拟线性椭圆问题成为超定问题。基于爆破缩放技术和“非线性特征值问题”，描述了解 $u(x,y)$ 在此类容许多重裂纹尖端 0（即“奇点”）处的可能行为类型。研究表明，容许裂纹的典型类型由一簇可数非线性特征函数的节点集所支配，这些特征函数是通过从 $n=0$ 时出现的调和多项式分岔而获得的。结合解析方法和数值方法，证明了针对这些非线性特征值/特征函数，在 $n$ 中会发生鞍结分岔。