涉及 Laplacian 平方根的非线性方程的多重解

本文研究在光滑有界域 $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ ($n\geq 2$) 中且具有 Dirichlet 零边界条件下，涉及 Laplacian 平方根 $A_{1/2}$ 的参数分数阶方程多重解的存在性，即 \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} A_{1/2}u=\lambda f(u) & \mbox{ in } \Omega\\ u=0 & \mbox{ on } \partial\Omega. \end{array}\right. \end{equation*} 对于参数 $\lambda$ 的特定取值，在要求非线性项 $f$ 连续且具有适当增长性的条件下，证明了至少存在三个 $L^{\infty}$-有界的弱解。我们的方法基于变分论证及 Caffarelli-Silvestre 延拓方法的一个变体。