(p,q)-拉普拉斯方程带双参数时正解的多重性

我们研究有界域$\Omega \subset \mathbb{R}^N$上方程$-\Delta_p u -\Delta_q u = \alpha |u|^{p-2}u+\beta |u|^{q-2}u$的零Dirichlet问题,其中$1<q<p$。我们考察$(\alpha,\beta)$平面上两条对应于特殊类正解存在阈值的临界曲线之间的关系。特别地,在点$(\alpha,\beta) = \left(\|\nabla \varphi_p\|_p^p/\|\varphi_p\|_p^p, \|\nabla \varphi_p\|_q^q/\|\varphi_p\|_q^q\right)$的某些邻域内(其中$\varphi_p$是$p$-拉普拉斯算子的第一特征函数),我们证明了依赖于指数$p$与$q$之间关系的两组以及——颇为意外的——三组不同正解的存在性。