广义 Picone 不等式及其在 $(p,q)$-拉普拉斯方程中的应用

我们得到了 Picone 不等式的一个推广，它与经典 Picone 不等式相结合，看来对具有 $(p,q)$-拉普拉斯型算子的问题是有用的。借助它以及其他几个已知的广义 Picone 不等式，我们给出了关于有界域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 中方程 $-\Delta_p u -\Delta_q u = f_\mu(x,u,\nabla u)$ 的零 Dirichlet 问题正解存在性与不存在性的若干非平凡事实，在对非线性项作某些假设下，并特别关注共振情形 $f_\mu(x,u,\nabla u) = \lambda_1(p) |u|^{p-2} u + \mu |u|^{q-2} u$，其中 $\lambda_1(p)$ 是 $p$-拉普拉斯算子的第一特征值。