关于对应于逆谱问题的退化 $(q,p)$-Laplace 方程

本文给出了两个主要结果：1）提出了一类导致带有 $(p,q)$-Laplace 方程的应用问题；2）介绍了一种求解包含具有可测无界系数的 $(p,q)$-Laplace 的非线性边值问题的方法。在主要结果中，证明了如下形式方程的非负弱解的存在性、唯一性和稳定性：$$-{\rm div}(\rho|\nabla u|^{q-2} \nabla u)-{\rm div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)=\lambda b |u|^{q-2}u,~~p>q$$ 此外，给出了一个显式公式，通过如下谱问题的逆最优解来表达该方程的解：$$-{\rm div}(\rho|\nabla \phi|^{q-2}\nabla \phi)=\lambda b|\phi|^{q-2}\phi$$ 该方法的优点在于，逆最优问题具有直观的几何意义和简单的变分结构，这使得其易于求解，从而找到相应的非线性边值问题的解。