涉及 p(x)-Laplace 算子的奇异方程的 Nehari 流形方法

我们研究以下涉及 p$(x)$-Laplace 算子 $\Delta_{p(x)}u= div(|\nabla u|^{p(x)-2}\nabla u)$ 的奇异问题，其中 $p(x)$ 是非常数连续函数，\begin{equation} \nonumber {{(\rm P_\lambda)}} \left\{\begin{aligned} - \Delta_{p(x)} u & = a(x)|u|^{q(x)-2}u(x)+ \frac{\lambda b(x)}{u^{\delta(x)}} \quad\mbox{in}\,\Omega,\ u &>0 \quad\mbox{in}\,\Omega, \ u & =0 \quad\mbox{on}\,\partial\Omega.\end{aligned} \right. \end{equation} 这里，$\Omega$ 是 $\mathbb{R}^{N\geq2}$ 中的有界区域，具有 $C^2$ 边界，$\lambda$ 是正参数，$a(x), b(x) \in C(\overline{\Omega})$ 是在 $\Omega$ 中具有紧支撑的正权函数，且 $\delta(x),$ $p(x),$ $q(x) \in C(\overline{\Omega})$ 满足特定假设 ($A_{0}$) 和 ($A_{1}$)。我们应用 Nehari 流形方法和一些新技术来建立问题 ${{(\rm P_\lambda)}}$ 正解的多重性。