超临界谱区间内关于次齐次不定 $p$-Laplace 方程的研究

我们研究有界域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 上方程 $-\Delta_p u = \lambda |u|^{p-2}u + a(x)|u|^{q-2}u$ 的零 Dirichlet 问题的解的存在性、多重性以及某些定性性质，其中 $1<q<p$，$\lambda\in\mathbb{R}$，且 $a$ 是变号的连续权函数。当参数 $\lambda$ 位于临界值 $\lambda^* = \inf\left\{\int_\Omega |\nabla u|^p \, dx/\int_\Omega |u|^p \, dx: u\in W_0^{1,p}(\Omega) \setminus \{0\},\ \int_\Omega a|u|^q\,dx \geq 0\,\right\}$ 的邻域内时，我们的主要兴趣在于基态和非负解，这些解在 $\{x\in \Omega: a(x)>0\}$ 中为正。在主要结果中，我们证明若 $p>2q$ 且要么 $\int_\Omega a\varphi_p^q\,dx=0$ 要么 $\int_\Omega a\varphi_p^q\,dx>0$ 充分小，则此类解在 $\lambda^*$ 的右邻域内确实存在。这里 $\varphi_p$ 是 $\Omega$ 中 Dirichlet $p$-Laplacian 的第一特征函数。这种存在现象是纯粹的次齐次和非线性本质，因为在超齐次情形 $q>p$ 或次线性情形 $q<p=2$ 下，对任意 $\lambda \geq \lambda^*$ 均不存在。此外，我们证明若 $p>2q$ 且 $\int_\Omega a\varphi_p^q\,dx>0$ 充分小，则在 $\lambda^*$ 的左邻域内存在三个非零非负解，其中两个在 $\{x\in \Omega: a(x)>0\}$ 中严格为正。