在 Nehari 流形中利用 Banach 不动点定理研究变指数非局部椭圆 PDE 解的存在性与多解性

本文中,我们研究下述方程在 Nehari 流形中两个不同非平凡弱解的存在性与多解性。我们还证明了这些解属于 $L^{\infty}(\Omega)$。\begin{align*} \begin{split} -\Delta_{p(x,y)}^{s(x,y)}u &= \beta|u|^{\alpha(x)-2}u+\lambda f(x,u)\,\,\mbox{in}\,\,\Omega,\\ u &= 0\,\, \mbox{in}\,\, \mathbb{R}^{N}\setminus\Omega \end{split} \end{align*} 此处,$\lambda, \beta > 0$ 为参数,$f(x,u)$ 为满足特定条件的一般非线性项。定义域 $\Omega\subset\mathbb{R}^N (N\geq 2)$ 为光滑有界域。指数间关系假定为 $2 < \alpha^{-}\leq\alpha(x)\leq\alpha^{+} < p^{-}\leq p(x,y)\leq p^{+} < q^{+} < r^{+} < r^{+2} < p_{s}^{*}(x)$。且 $\alpha(x)\leq p(x,x)\;\forall\;x\in\overline{\Omega}$ 与 $s(x,y)p(x,y) < N \;\forall\;(x,y)\in\overline{\Omega}\times\overline{\Omega}$。