具有临界非线性的分数阶 Kirchhoff 系统的 Nehari 流形

在本文中，我们证明了如下分数阶 Kirchhoff 系统正解的存在性与多解性\ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{rllll} \mc L_M(u)&=\lambda f(x)|u|^{q-2}u+ \frac{2\alpha}{\alpha+\beta}\left|u\right|^{\alpha-2}u|v|^\beta & \text{in } \Omega,\\ \mc L_M(v)&=\mu g(x)|v|^{q-2}v+ \frac{2\beta}{\alpha+\beta}\left|u\right|^{\alpha}|v|^{\beta-2}v & \text{in } \Omega,\\ u&=v=0 &\mbox{in } \mathbb{R}^{N}\setminus \Omega, \end{array} \right. \end{equation} 其中 $\mc L_M(u)=M\left(\displaystyle \int_\Omega|(-\Delta)^{\frac{s}{2}}u|^2dx\right)(-\Delta)^{s} u$ 是由于 Kirchhoff 项 $M(t)=a+b t$（其中 $a, b>0$）与分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^{s}, s\in(0, 1)$ 导致的双重非局部算子。我们考虑 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^N$ 中具有光滑边界的有界域，{$2s<N\leq 4s$}，$f, g$ 为变号连续函数，$\lambda, \mu>0$ 为{实}参数，$1<q<2$，$\alpha, \beta\ge 2$ {且} $\alpha+\beta=2_s^*={2N}/(N-2s)$ {为分数阶临界指数}。利用 Nehari 流形技术思想以及基于{Brezis-Lieb 引理经典思想}的紧性结果，我们证明了在 $\mathbb R^2_+$ 的适当子集中的 $(\lambda, \mu)$ 至少存在两个正解。