关于带电磁场与临界非线性的分数阶 Schrödinger-Kirchhoff 方程

我们考虑带电磁场与临界非线性的分数阶 Schrödinger-Kirchhoff 方程 $\varepsilon^{2s}M([u]_{s,A_\varepsilon}^2)(-\Delta)_{A_\varepsilon}^su + V(x)u = |u|^{2_s^\ast-2}u + h(x,|u|^2)u,$ $\ \ x\in \mathbb{R}^N,$ 其中 $u(x) \rightarrow 0$ 当 $|x| \rightarrow \infty,$ 且 $(-\Delta)_{A_\varepsilon}^s$ 是分数阶磁算子，$0<s<1$，$2_s^\ast = 2N/(N-2s),$ $M : \mathbb{R}^{+}_{0} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$ 是连续非减函数，$V:\mathbb{R}^N \rightarrow \mathbb{R}^+_0$ 与 $A: \mathbb{R}^N \rightarrow \mathbb{R}^N$ 分别为电势与磁势。利用集中紧致原理的分数阶版本与变分方法，我们证明上述问题：(i) 在 $\varepsilon < \mathcal {E}$ 时至少有一解；(ii) 对任意 $m^\ast \in \mathbb{N}$，若 $\varepsilon < \mathcal {E}_{m^\ast}$ 则有 $m^\ast$ 对解，其中 $\mathcal {E}$ 与 $\mathcal {E}_{m^\ast}$ 为足够小的正数。此外，这些解满足 $u_\varepsilon \rightarrow 0$ 当 $\varepsilon \rightarrow 0$。