具有卷积与临界非线性的分数阶磁场薛定谔-基尔霍夫问题

本文关注具有电磁场与临界非线性的分数阶 Choquard 型薛定谔-基尔霍夫方程解的存在性与多解性：\begin{eqnarray*} \begin{cases} \varepsilon^{2s}M([u]_{s,A}^2)(-\Delta)_{A}^su + V(x)u = (|x|^{-\alpha}*F(|u|^2))f(|u|^2)u + |u|^{2_s^\ast-2}u,\ \ \ x\in \mathbb{R}^N,\\ u(x) \rightarrow 0,\ \ \quad \mbox{as}\ |x| \rightarrow \infty, \end{cases} \end{eqnarray*} 其中 $(-\Delta)_{A}^s$ 为分数阶磁场算子，$0<s<1$，$2_s^\ast = 2N/(N-2s)$，$\alpha < \min\{N, 4s\}$，$M : \mathbb{R}^{+}_{0}\rightarrow \mathbb{R}^{+}_0$ 为连续函数，$A: \mathbb{R}^N \rightarrow \mathbb{R}^N$ 为磁势，$F(|u|) = \int_0^{|u|}f(t)dt$，且 $\varepsilon > 0$ 为正参数。电势 $V\in C(\mathbb{R}^N, \mathbb{R}^+_0)$ 满足在 $\mathbb{R}^N$ 的某些区域中 $V(x) = 0$，这意味着这是临界频率情形。我们首先利用分数阶集中紧致原理证明 $(PS)_c$ 条件。进而，应用山路定理与亏格理论，获得上述问题半经典态的存在性与多解性。我们问题的主要特征是基尔霍夫项 $M$ 可在零处消失。