关于含 $(p,q)$ 拉普拉斯算子的微分不等式的 Liouville 性质

本文建立了一类非齐次准线性不等式的多个 Liouville 定理。第一部分中，我们证明了与非负解相关的各种 Liouville 结果，涉及不等式\n$$-\Delta_p u - \Delta_q u \geq u^{s-1} \quad \text{在 } \Omega \text{ 中},$$\n其中 $1<q<p$，$s>1$，且 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^N$ 的任意外域。具体而言，我们证明当 $q<N$ 时，不等式 $(P_s)$ 不存在正解当 $s<q_*$，且当 $s>q_*$ 时，$(P_s)$ 存在正解，其中 $q_*=\frac{q(N-1)}{N-q}$ 为 $q$-拉普拉斯算子的 Serrin 指数。进一步，我们证明当 $s=q_*$ 且 $p<s$ 时，$(P_s)$ 唯一的非负解为平凡解。另一方面，对于 $q\geq N$，我们证明 $(P_s)$ 的唯一非负解为 $u\equiv 0$，且此结论对任意 $s>1$ 均成立。第二部分中，我们考虑不等式\n$$-\Delta_p u - \Delta_q u \geq u^s |\nabla u|^m \quad \text{在 } \mathbb{R}^N \text{ 中},$$\n其中 $1<q<p$，$N>q$，且 $s, m \geq 0$。我们证明当 $\{0\leq m\leq q-1\}\cup\{m>p-1\}$ 且 $s(N-q)+m(N-1)<N(q-1)$ 时，$(P_{sm})$ 的唯一正解为常数。这进一步说明当 $\Omega=\mathbb{R}^N$ 时，若满足 $1<q<N$ 且 $1<s<q_*$，则 $(P_s)$ 的任意非负解均为平凡解。为证明 $0\leq m<q-1$ 区间的 Liouville 定理，我们首先证明 $(P_{sm})$ 的任意非负超解的近最优下界估计，然后借助该估计得到 Liouville 结果。就我们所知，此技术是全新的，为在获得更高正则性条件下的 Mitidieri-Pohozaev 容量方法提供了另一种替代途径。