带源项梯度非线性的 (p,q)-拉普拉斯椭圆方程的 Liouville 结果

本文提出了一系列关于具有依赖于解及其梯度的反应项的非齐次准线性椭圆方程的 Liouville 类型定理。具体地，我们研究形如 $-\Delta_p u - \Delta_q u = f(u,\nabla u)$ 的方程，其中 $p > q > 1$，其中非线性项 $f$ 取形式如 $u^s|\nabla u|^m$ 或 $u^s + M|\nabla u|^m$（$s, m\geq 0$）。我们的方法有两个方面。对于反应项满足 $|f(u,\nabla u)|\leq g(u)|\nabla u|^m$ 且 $m>q$、$g$ 为连续函数的情况，我们通过 Ishii-Lions 类型技术证明每个有界解（无符号限制）在 $\mathbb{R}^N$ 中为常数。在剩余情形中，我们转向 Bernstein 方法。该方法应用于非齐次算子需要显著性适应，因为大致可以说，常数系数被可能且不受上界限制的函数取代，这使我们能够在任意域 $\Omega$ 中建立解梯度的关键 a priori 估计。该估计反过来又在整个空间 $\mathbb{R}^N$ 上推出所需的 Liouville 属性。作为结果，我们将 Lions 的 Liouville 类型结果完全推广到 Hamilton-Jacobi 方程的 $(p,q)$-拉普拉斯情形；对于 $(p,q)$ 广义 Lane-Emden 方程，我们提供了关于 Gidas 和 Spruck 对 $p=q=2$ 的经典结果以及 Serrin 和 Zou 对 $p=q$ 的结果的初始贡献。据我们所知，这是首个研究包含源梯度项的非齐次算子 Liouville 性质的论文。