涉及 Marchaud 导数的对偶非局部演化方程的 Liouville 型定理

本文针对齐次对偶分数抛物方程 \begin{equation} \partial^\alpha_t u(x,t)+(-\Delta)^s u(x,t) = 0\ \ \mbox{in}\ \ \mathbb{R}^n\times\mathbb{R} . \end{equation} 建立了 Liouville 型定理，其中 $0<\alpha,s<1$。在渐近假设 $$\liminf_{|x|\rightarrow\infty}\frac{u(x,t)}{|x|^\gamma}\geq 0 \; ( \mbox{or} \; \leq 0) \,\,\mbox{for some} \;0\leq\gamma\leq 1,$$ 下，对于 $\frac{1}{2}<s < 1$ 的情形，我们利用 Fourier 分析方法证明了上述方程的所有分布意义下的解必为常数。我们的结果将关于调和函数 \cite{ABR} 和 $s$-调和函数 \cite{CDL} 的已有 Liouville 定理作为特例包含在内，并且即使仅限于单侧 Marchaud 分数阶方程，我们的结果依然是新颖的，同时我们的方法可应用于多种对偶非局部抛物问题。在推导主要结果的过程中，通过极其精细的计算，我们得到了 Schwartz 空间中函数的 $\left[D_{\rm right}^\alpha+(-\Delta)^s\right] \varphi(x,t)$ 衰减率的最优估计。这一锐利估计在定义分布意义下的解时起到了至关重要的作用，并将成为分析此类方程族的有力工具。